AULA VIRTUAL GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Conceptos básicos de la Geometría

Razonamiento deductivo: la forma de pensar utilizado en la ciencia y particularmente en geometría, se conoce como método deductivo. El método consiste en, valiéndonos de la lógica, deducir nuevos conocimientos a partir de conocimientos anteriores que se consideran verdaderos. Como es natural, deben existir alguno o algunos principios generales básicos (axiomas, postulados y definiciones) desde donde comenzar la construcción de una nueva ciencia. La geometría es un sistema axiomático o deductivo en el que cada teorema se deduce de otro, previamente demostrado.

 Proposición: Una proposición es un enunciado del que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo: "Santiago de Chile es la capital de Colombia".


 Axioma: proposición evidente que se acepta como verdadera sin necesidad de una demostración. "Los axiomas son las leyes más generales de la cantidad y del espacio" (G. Fingermann).
Ejemplo: "El todo es mayor que cualquiera de sus partes".


 Postulado: un postulado es una verdad no tan evidente como un axioma pero que también se acepta sin una previa demostración. "El postulado es una arbitraria suposición establecida por el matemático".
Ejemplo: "Existen infinitos puntos".


 Definiciones: "antes de que pueda probarse una proposición en geometría, debemos convenir en ciertas definiciones y propiedades de las figuras geométricas. Es necesario que los términos  que usemos en las demostraciones geométricas tengan exactamente el mismo significado para cada uno de nosotros. En geometría una buena definición tiene dos propiedades importantes:
1.  Las palabras en la definición deben ser más sencillas que la palabra que se está definiendo y deben ser fáciles de comprender.
2.  La definición debe ser una proposición reversible.
Ejemplo: si se define "ángulo recto" como aquél cuya medida es de 90°, se supone que cada término de la definición es claro y, que si tenemos un ángulo recto, tenemos un ángulo cuya medida es 90°. Recíprocamente, si tenemos un ángulo cuya medida es 90°, tenemos un ángulo recto" (E. M. Hemmerling).


 Términos indefinidos: son términos que no se definen porque no es posible definirlos con palabras más sencillas que la que se uiliza para designar el término. En geometría se utilizan tres términos indefinidos: punto, recta y plano.


 Teorema: una proposición que es demostrable o refutable aplicando la lógica formal a partir de axiomas o postulados se denomina teorema. Un teorema también se puede demostrar apoyándose en teoremas previos. En todo teorema se distinguen tres partes:
Hipótesis: supuestos o datos conocidos
Tésis: lo que se quiere demostrar
Demostración: procedimiento lógico en el que se utilizan los conocimientos previos para mostrar la verdad de un teorema.


 Corolario: es un teorema que surge como consecuencia de otro.


 Teorema recíproco: todo teorema tiene su recíproco. La hipótesis y la tésis del recíproco son, respectivamente, la tésis y la hipótesis del otro teorema (teorema directo). No siempre los teoremas recíprocos son verdaderos.


 Lema: es una proposición o teorema preliminar que sirve de base a la demostración de un teorema.


 Escolio: obsevación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.


 Problema: un problema es una proposición en la que se pide construir una figura que reune ciertas condiciones (problema gráfico) o bien calcular el valor de una magnitud geométrica (problema numérico).


 Punto: un punto es un término indefinido. No se puede definir. La huella que deja un lápiz bien afilado sobre una hoja de papel nos sugiere la idea de un punto. Un punto carece de dimensiones, es sólo una posición en el espacio. Se acostumbra denotar los puntos por letras mayúsculas, por ejemplo  . A: punto A
 Postulado1: "Hay infinitos puntos".


 Recta: término indefinido. Una idea vaga de recta se tiene por la observación del borde de una regla, un hilo templado, etc. La recta sólo tiene una dimensión, longitud. La recta, o mejor, un segmento de recta es la menor distancia entre dos puntos. La recta geométrica se extiende sin límite en dos sentidos opuestos. Se denotan las rectas por dos de sus puntos mediante el símbolo:
MathType 5.0 Equation          Imagen de mapa de bits
 Postulado2: "Por dos puntos diferentes pasa una y solo una recta".
 Postulado3: "Dos rectas distintas solo pueden tener un punto en común".
Semirecta: si señalamos un punto A en una recta, dicho punto junto con los puntos que le siguen o le preceden en el mismo sentido se denomina semirecta; A se conoce como el origen de la semirecta . Para denotar una semirecta se señala otro punto además del origen, y se utiliza el siguiente símbolo:
MathType 5.0 Equation             Imagen de mapa de bits
Segmento de recta: si señalamos sobre una recta los puntos A y B, se denomina segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los puntos A y B que se denominan extremos del segmento. El segmento de recta se denota por el siguiente símbolo:
MathType 5.0 Equation               Imagen de mapa de bits
 Postulado4: "La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une".


 Plano: término indefinido. Una idea de plano nos la sugiere la superficie de un tablero, el piso, etc. Un plano tiene dos dimensiones, largo y ancho. Un plano tiene una extensión ilimitada. Un plano se considera constituido por un conjunto infinito de puntos. Se denota el plano por cuatro de sus puntos y mediante el siguiente símbolo:
Imagen de mapa de bits
 Postulado5: "Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está contenida en el plano". Dos planos se cortan en una línea recta, recta de intersección.
Semiplano: toda recta MN de un plano lo divide en dos regiones llamadas semiplanos. Cada punto del plano pertenece a uno de los semiplanos, excepto los puntos de la recta MN que pertenecen a los dos.
Imagen de mapa de bits
 Postulado6: "Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto semiplano determinan un segmento que corta a dicha recta".
 Postulado7:  "Si dos planos tienen un punto común tienen una recta común".
Definición: Un conjunto de puntos se dicen coplanares si se encuentran todos en un mismo plano.


 Poligonales cóncavas y convexas: una poligonal es una línea quebrada formada por segmentos de recta; los segmentos se conocen como lados y los puntos comunes de los lados como vértices.
Una poligonal es convexa si al prolongar en los dos sentidos a uno cualquiera de sus lados, toda la poligonal queda en un mismo semiplano. Se dice cóncava a la poligonal que al prolongar uno cualquiera de sus lados, parte de la poligonal queda en un simiplano y parte en el otro semiplano.
Imagen de mapa de bits


 Teorema1: "En dos poligonales convexas, de extremos comunes, la envolvente es mayor que la envuelta".
Hipótesis:
MathType 5.0 Equation

Tésis:
MathType 5.0 Equation

Construcción auxiliar:
MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits
fig.1
Demostración:
MathType 5.0 Equation


 E j e r c i c i o s

Ejercicios resueltos

MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits
MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits
MathType 5.0 Equation
Ejercicios propuestos

MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits


MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits

MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits


MathType 5.0 Equation
Imagen de mapa de bits

Comentarios

miau miua

hola profis k tal espero y se encuentre vien solo le keria desir k su clase estuvo chida y espero k ya no se vuelvan a suspender adios chaiiiiiiiito

q paso profe bueno sus clases son bien esplicadas pero tengo muchas dudas i me da pena desirle enfrente de todos los conpayeros q no le entiendo los trabajos q estamos biendo eso es a lo q no le entiendo

Y DE LOS TRABAJOS MAÑANA SE LOS ENTREGO A POR CIERTO AUNQUE YA PASO SU CUMPLE PUES FELOCIDADES . TRATARE DE HECHARLE MAS GANAS AL ESTUDIO EN ESPECIAL A SU CLASE QUE ES UNA DE LAS QUE MAS SE ME HACE DIFICILES. ES TODO POR AHORA QUE ESTE BIEN.

PROFE PUES COMO LE DIJE EN EL COMENTARIO ANTERIOR USTED EXPLICA BIEN. Y ES MUY BUNA ONDA QUE BIEN QUE SEA ASI JA JA. LOS VIDEOS AUN NO LOS HE VIESTO PRO HOY LO VOY A HACER Y BUENO TAMBIEN NO LOS HE ONCONTRADO. SIGA SIENDO CHIDO JA JA.

profe lo que le puedo decir pues que la verdad sus clases an estado muy bien explicadas pero aun asi no le entiendo mucho que digamos y no es que usted no explique bien.

Añadir un Comentario: